Medida e Integração

Objetivos

Dominar conceitos e técnicas de teoria de medida, integração, e espaços de funções.

Programa

Mensurabilidade; σ-álgebras, medidas, medidas exteriores. Medidas de Borel na recta real. A medida de Lebesgue. Funções mensuráveis. Integração. Teoremas de convergência: teorema de convergência monótona; lema de Fatou; teorema de convergência dominada. Medidas produto e teorema de Fubini-Lebesgue. Integral de Lebesgue em R^n. Introdução aos espaços L^p ; Desigualdades de Hölder e Minkowsky; convergência e completude dos espaços L^p . Diferenciação de medidas; funções de variação limitada e funções absolutamente contínuas; o teorema fundamental do cálculo. Medidas com sinal; decomposições de Hahn e Jordan; o teorema de Radon-Nikodym.Espaços de probabilidade. Teorema da extensão de Kolmogorov.

Pré Requisitos

Cálculo Diferencial e Integral I, II, III e Topologia, ou equivalente.

Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.