Mecânica Analítica

Objetivos

Apresentar, no contexto da mecânica clássica, as ideias e métodos teóricos relevantes para o desenvolvimento da física teórica contemporânea. Desenvolver a capacidade de aplicação de conceitos físicos fundamentais à resolução autónoma de problemas complexos.

Programa

I. Conceitos fundamentais da mecânica analítica: Vínculos, coordenadas generalizadas, o princípio de D'Alembert e as equações de Lagrange. A formulação Lagrangeana da mecânica: o princípio variacional de Hamilton, cálculo variacional, derivação das equações de Lagrange a partir do princípio de Hamilton e generalização para ligações não-holónomas, generalização para sistemas não-mecânicos. II. Leis de conservação: Leis de conservação e as propriedades de simetria do sistema. Conservação do momento linear, conservação da energia e conservação do momento angular. III. Pequenas oscilações em coordenadas generalizadas: Vibração livre e coordenadas normais. Exemplo: vibrações livres de uma molécula linear triatómica. IV. Formulação Hamiltoniana da mecânica: Transformadas de Legendre e as equações do movimento de Hamilton. Coordenadas cíclicas e leis de conservação, oscilações, derivação das equações de Hamilton a partir de um princípio variacional, o princípio da ação mínima. V. Transformações canónicas: Transformações canónicas e as equações das transformações canónicas. Parentesis de Lagrange e de Poisson como invarintes canónicos. Equações de movimento na notação de parêntesis de Poisson. Teorema de Liouville. VI. Teoria de Hamilton-de Jacobi: Equação de Hamilton-Jacobi para a função principal de Hamilton e separação de variávies. Problema de Kepler nas variáveis acção-ângulo. VII. Introdução às formulações Lagrangeana e Hamiltoniana de sistemas contínuos e de campos: Transição de sistemas discretos para contínuos. A formulação Lagrangeana para sistemas contínuos. O tensor energia-momento e teoremas de conservação. Formulação Hamiltoniana, parentesis de Poisson, e a representação de momento. Teoria de campo relativista. Exemplos de teorias de campo relativistas: campo escalar e campo electromagnético. Teorema de Noether.

Pré Requisitos

Para um bom seguimento desta unidade, recomenda-se a conclusão da cadeira de Mecânica e da cadeira de Relatividade e das cadeiras básicas de matemática como Análise Matemática e Equações Diferenciais.

Competências Transversais

A unidade vai estimular a creatividade através da apresentação e resolução de problemas originais cuja resolução necessita de uma série de ferramentas; vai desenvolver competências interpessoais, nomeadamente a comunicação escrita e oral, e intrapessoais, através da resolução e apresentação de trabalhos feitos em grupo, mas explicados a todos os colegas na sala de aula. Estima-se que cerca de 15% da unidade seja focada na aquisição competências transversais.

Componente Laboratorial

Não existe componente laboratorial.

Componente de Programação

Este curso tem uma importante vertente de computação e programação, sem a qual parte dos objectivos não seriam atingidos. Estes vão ser desenvolvidos nas aulas teórico, téorico-práticas e através de problemas mais extensos. Esta vertente vai incidir sobre abstracção, a definição de funções e o seu uso, funções recursivas, algoritmos e processos iterativos. Cerca de 25% da unidade é dedicado aos aspectos de computação e programação.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.