Grupos, Anéis e Módulos

Objetivos

Os alunos devem aprender os conceitos e resultados básicos das teorias de grupos, anéis e módulos, e da representação de grupos finitos, bem como algumas noções elementares de teoria das categorias que permitem uma exposição um pouco mais abstracta do que as dos cursos introdutórios de álgebra. Devem também aprender os exemplos que ocorrem mais frequentemente na matemática.

Programa

Categorias: Produtos e coprodutos, igualadores e co-igualadores. Functores, categorias concretas e objectos livres. Isomorfismo de objectos que têm a mesma propriedade universal. Grupos: Subgrupos, subgrupos normais; isomorfismos. Grupos quociente, isomorfismos canónicos. Acções de grupos; teoremas de Sylow. Grupos livres, geradores e relações. Anéis: Subanéis, ideais e anéis quociente. Anéis de polinómios, fracções, domínios de factorização única, domínios de ideais principais, domínios euclidianos. Módulos: Módulos finitamente gerados e módulos livres. Produto tensorial. Sucessões exactas, Hom e dualidade. Módulos sobre domínios integrais e sobre domínios de ideais principais. Aplicações: classificação de grupos abelianos finitamente gerados, forma canónica de Jordan. Representações de grupos finitos: Acções lineares e anéis de grupos. Caracteres e relações de ortogonalidade. Exemplos e aplicações.

Pré Requisitos

Este é um curso de álgebra destinado a alunos que já têm conhecimento introdutório a respeito de grupos e anéis, mas também acessível a alunos que apenas frequentaram um primeiro curso de álgebra linear.

Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.