Teoria de Galois

Objetivos

Introdução à teoria de Galois, com ênfase em exemplos. Decidir se um polinómio é irredutível. Identificar propriedades da extensão de corpos (p.ex., normal, separável ou corpo de decomposição). Calcular o grupo de Galois de uma extensão. Identificar a correspondência entre os corpos intermédios e os subgrupos do grupo de Galois de extensões Galois. Reconhecimento de alguns grupos resolúveis. Estudar como propriedades de soluções de uma equação polinomial estão relacionadas com certos grupos de simetrias de uma extensão de corpos.Calcular o grau da extensão e o grau de transcendência da extensão de corpo.

Programa

Extensões de corpos, grau da extensão, números algébricos e transcendentes. Polinómios mínimos, corpos de decomposição de polinómios. Extensões normais e (in)separáveis. Corpos finitos. Extensões de Galois, grupos de Galois, Teorema fundamental da teoria de Galois. Extensões ciclotómicas. Grupos resolúveis. Resolubilidade de equações polinomiais por radicais. Construções com régua e compasso. O teorema do elemento primitivo. Existência e unicidade do fecho algébrico. Extensões de corpos de grau infinito. Grau de transcendência.

Pré Requisitos

Álgebra

Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.