Princípios Variacionais e Aplicações

Objetivos

A unidade curricular corresponde a uma introdução ao Cálculo de Variações clássico, com ligações a Equações Diferenciais Ordinárias, Teoria Espectral e Mecânica Racional. Pretende aprofundar-se a compreensão básica teórica e operacional sobre problemas de otimização de funcionais e problemas de valores na fronteira, bem como a sua ligação à Física.

Programa

Motivação ao estudo do cálculo das variações. Primeira variação de Gâteaux. Lema de Dubois-Raymond. A equação de Euler-Lagrange. Exemplos clássicos. Funcionais com função integranda convexa. Problemas isoperimétricos. Generalizações a outros funcionais: o caso de várias variáveis dependentes e independentes, problemas de ordem superior. Extremais regulares e a Transformação de Legendre. Aplicações do Cálculo das Variações à Mecânica Racional. Problemas de valores de fronteira. Função de Green. Princípio do Máximo. Problemas de Sturm-Liouville. Teoremas de Sturm. Existência de valores próprios. Aplicações.

Pré Requisitos

Cálculo Diferencial e Integral I, Cálculo Diferencial e Integral II e Cálculo Diferencial e Integral III

Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.