Análise Real

Objetivos

Dominar conceitos e técnicas da teoria de espaços de Hilbert, espaços L^p, transformadas de Fourier, distribuições.

Programa

Revisão de espaços métricos. Espaços normados. Espaços de Hilbert; conjuntos ortonormados, bases hilberteanas; funcionais lineares. Revisão de espaços L^p. Convergência em L^p e em medida; teoremas de Egorov e Lusin. Convolução em L^p; aproximação da identidade. Dualidade, convergência fraca; teorema de representação de Riesz; medidas de Radon. Séries de Fourier: séries trigonométricas, identidade de Parseval; funções contínuas; coeficientes de Fourier de funções em L^1; lema de Riemann-Lebesgue; teoremas de convergência, princípio de localização de Riemann, teste de Dini, média de Cesaro, teorema de Fejer. Transformada de Fourier no espaço de Schwartz e em L^p; convolução, diferenciação; fórmula de inversão, teorema de Plancherel, desigualdade de Hausdorff-Young. Distribuições, suporte compacto e temperadas; extensão da transformada de Fourier. Tópicos: Espaços de Sobolev; Rearranjos e desigualdades integrais; Aplicações a teoria de probabilidade; Grupos topológicos.

Pré Requisitos

Conhecimentos básicos de Topologia e de Medida e Integração.

Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.